Approximation des normes de Sobolev dans les groupes de Carnot

Topic outline

  • Section publique

    Thèse doctorat 2008 FR

    Catégorie : Mathématiques

    Ecole doctorale Economie, Management, Mathématiques et Physique (EM2P) (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)

    Mots clés : inégalité de PoincaréaGroupes de Carnot,

    Auteur : Davide Barbieri

    Directeur de thèse : sous la direction de Thierry Coulhon

    Résumé : Dans cette thèse nous traitons une notion d'espace de Sobolev W^{1,p} qui a eté introduite par Bourgain, Brezis et Mironescu en 2001. Ils ont travaillé avec moyennes locales de différences finies, en definissant une norme équivalente à l'ordinaire norme du gradient. Ce travail a permis à Ponce d'obtenir une variante de l'inégalité de Poincaré en 2003, où il retrouve cette norme a droite. Les résultats principaux sont des généralisations de ces travaux dans le cadre des groupes de Carnot: il s'agit d'une extension à cette structure non-Euclidienne, où il y a une structure différentiable dite sub-Riemannienne. Pour le premier travail, celui de Bourgain et al., notre preuve a simplement adapté la preuve originale. Par contre, pour obtenir une prouve de l'inégalité de Poincaré-Ponce, nous avons usé d'une technique différente: le résultat est un peu plus faible, mais son caractère constructif nous a permis d'obtenir des expressions explicites pour le seuil des approximations.

    Résumé : In this thesis we deal with a notion of Sobolev space W^{1,p} introduced by Bourgain, Brezis and Mironescu in 2001 by means of a norm involving local averages of finite differences. This norm turns out to be equivalent to the ordinary norm of the gradient, and this result has led to a Poincaré-like estimate due to Ponce in 2003, where indeed the right hand side contains the mentioned local approximations of the gradient norm. The main results are a generalization of these two works, originally stated in Euclidean setting, to a non-Euclidean framework, namely that of Carnot groups. While the first result of Bourgain et al. could be directly generalized by adapting an Euclidean proof to the differential structure of Carnot groups, the Poincaré estimate of Ponce needed a completely different proof. This proof provides a sligtly less sharp result, but, due to its constructive approach, it gives an explicit realization of the threshold that makes the approximations effective.

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