Equations elliptiques et anisotropes non linéaires

Topic outline

  • Section publique

    Thèse doctorat 2008 FR

    Catégorie : Mathématiques

    Ecole doctorale Economie, Management, Mathématiques et Physique (EM2P) (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)

    Mots clés : équations elliptiques critiquesaopérateurs anisotropiques,

    Auteur : Jérôme Vétois

    Directeur de thèse : sous la direction de Emmanuel Hebey

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    Résumé : Cette thèse est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, on étudie des équations et des systèmes elliptiques critiques en lien avec la géométrie conforme. Pour ces équations, on s'attache principalement à obtenir l'existence de multiplicités de solutions par des arguments topologiques liés à la théorie de Lusternik-Schnirelmann, par compacité et théorie de Krasnosel'skii, ou encore par recollement de singularités. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations non linéaires faisant intervenir des opérateurs anisotropes. On met en lumière les difficultés nouvelles liées à ces opérateurs dans l'étude des phénomènes de renormalisation et le rôle crucial joué par la géométrie de l'espace ambiant. Les équations elliptiques sont posées en milieux anisotropes représentés par des variétés riemanniennes. Les équations anisotropes sont posées en milieux homogènes représentés par des domaines de l'espace euclidien.

    Résumé : This thesis is divided into two main parts. In the first part, we study critical elliptic equations and systems linked with conformal geometry. For these equations, we mainly endeavour to obtain the existence of multiplicities of solutions by topological arguments linked with Lusternik-Schnirelmann theory, by compactness and Krasnosel'skii theory, or also by ''gluing'' of singularities. In the second part, we consider a general class of nonlinear equations involving anisotropic operators. We highlight the new difficulties linked with these operators in the study of blow-up phenomena and the crucial role played by the geometry of the ambient space. The elliptic equations are posed in anisotropic media represented by Riemannian manifolds. The anisotropic equations are posed in homogeneous media represented by domains of the Euclidean space.

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