Méthodes algébriques dans l'analyse spectrale d'opérateurs sur les graphes et les variétés

Topic outline

  • Section publique

    Thèse doctorat 2004 FR

    Catégorie : Mathématiques

    Ecole doctorale science et ingénierie

    Auteur : Sylvain Golenia

    Directeur de thèse : sous la direction de Vladimir Georgescu

    Publication autorisée par le jury

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    Résumé : Dans cette thèse, nous établissons de nouveaux résultats concernant les propriétés spectrales d'opérateurs agissant sur les arbres et divers critères concernant la stabilité du spectre essentiel d'opérateurs non-bornés. Elle se compose de trois articles. Les deux premiers traitent de la théorie spectrale et de la diffusion des opérateurs de Schrödinger sur un arbre et de sa généralisation naturelle aux espaces de Fock. Les problèmes abordés sont : la validité de l'estimation de Mourre et la caractérisation du spectre essentiel d'opérateurs anisotropes par des méthodes C-étoile-algébriques. Dans le troisième article, nous donnons des critères de stabilité du spectre essentiel pour des opérateurs agissant sur des modules de Banach. Les applications couvrent les opérateurs de Dirac, les perturbations de métriques riemanniennes et les opérateurs sous forme divergence.

    Résumé : In this thesis, we use C-star-algebraical techniques aiming for applications in spectral theory. In the first two articles, in the context of trees, we adapt the C-star-algebra methods to the study of the spectral and scattering theories of Hamiltonians of the system. We first consider a natural formulation and generalization of the problem in a Fock space context. We then get a Mourre estimate for the free Hamiltonian and its perturbations. Finally, we compute the quotient of a C-star-algebra of energy observables with respect to its ideal of compact operators. As an application, the essential spectrum of highly anisotropic Schr\"odinger operators is computed. In the third article, we give powerful critera of stability of the essential spectrum of unbounded operators. Our applications cover Dirac operators, perturbations of riemannian metrics, differential operators in divergence form. The main point of our approach is that no regularity conditions are imposed on the coefficients.

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